Algèbre Exemples

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Étape 1.3.2

Réduisez l’expression $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Étape 1.4

Réécrivez $\frac{x - 2}{2}$ comme $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Étape 1.5

Réécrivez $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ comme $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Étape 1.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Étape 1.7

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Étape 1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\log_{2} (x - 2)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Étape 2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Étape 3

Réécrivez $\log_{2} (x - 2) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x - 2 = 2^{4}$ .

$x - 2 = 2^{4}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x - 2 = 16$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 16 + 2$

Étape 4.3.2

Additionnez $16$ et $2$ .

$x = 18$