Algèbre Exemples

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Étape 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ en déplaçant $x^{2} + 5 x$ hors du logarithme.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{3}{4})$ comme $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 5

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Étape 7

Développez $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Étape 8

Réécrivez $\ln (\frac{4}{3})$ comme $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.3

Développez $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.1.4.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Étape 9.2

Simplifiez $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

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Étape 9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Étape 9.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $3 x \ln (4)$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Étape 9.3.2

Ajoutez $3 x \ln (3)$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Étape 9.3.3

Additionnez $5 x \ln (3)$ et $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Étape 9.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Étape 9.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Étape 9.4.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Étape 9.4.4

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Étape 9.4.5

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Étape 9.4.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Étape 9.4.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Étape 9.4.8

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Étape 9.4.9

Factorisez $x$ à partir de $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Étape 9.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Étape 9.6

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 9.7

Définissez $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.7.1

Définissez $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ égal à $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Étape 9.7.2

Résolvez $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ pour $x$ .

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Étape 9.7.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.7.2.1.1

Soustrayez $8 \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Étape 9.7.2.1.2

Ajoutez $10 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Étape 9.7.2.1.3

Ajoutez $3 \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Étape 9.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

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Étape 9.7.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Étape 9.7.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Étape 9.7.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Étape 9.7.2.3

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ par $\ln (3) - 2 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ par $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Étape 9.7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.7.2.3.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 9.7.2.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.7.2.3.3.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

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Étape 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.7.2.3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.2.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.7.2.3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.7.2.3.3.3.6.1

Réécrivez $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ comme $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.7.2.3.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 9.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $5.66321656 E - 7$ n’est pas supérieur au côté droit $0.00017858$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $3.16049382$ est supérieur au côté droit $0.03167635$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.01781794$ n’est pas supérieur au côté droit $5.61865569$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Faux

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Faux

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Étape 14