Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \sqrt{x} \sqrt{x + h}}$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \sqrt{(x + h) x}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \sqrt{(x + h) x}}$ par $\frac{\sqrt{(x + h) x}}{\sqrt{(x + h) x}}$ .

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \sqrt{(x + h) x}} \cdot \frac{\sqrt{(x + h) x}}{\sqrt{(x + h) x}}$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x + h}}{h \sqrt{(x + h) x}}$ par $\frac{\sqrt{(x + h) x}}{\sqrt{(x + h) x}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h \sqrt{(x + h) x} \sqrt{(x + h) x}}$

Étape 3.2

Déplacez $\sqrt{(x + h) x}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h (\sqrt{(x + h) x} \sqrt{(x + h) x})}$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{(x + h) x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ({\sqrt{(x + h) x}}^{1} \sqrt{(x + h) x})}$

Étape 3.4

Élevez $\sqrt{(x + h) x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ({\sqrt{(x + h) x}}^{1} {\sqrt{(x + h) x}}^{1})}$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {\sqrt{(x + h) x}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {\sqrt{(x + h) x}}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez ${\sqrt{(x + h) x}}^{2}$ comme $(x + h) x$ .

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Étape 3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + h) x}$ comme ${((x + h) x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {({((x + h) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{1}}$

Étape 3.7.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ((x + h) x)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h \sqrt{(x + h) x} \sqrt{(x + h) x}}$

Étape 4.2

Déplacez $\sqrt{(x + h) x}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h (\sqrt{(x + h) x} \sqrt{(x + h) x})}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{(x + h) x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ({\sqrt{(x + h) x}}^{1} \sqrt{(x + h) x})}$

Étape 4.4

Élevez $\sqrt{(x + h) x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ({\sqrt{(x + h) x}}^{1} {\sqrt{(x + h) x}}^{1})}$

Étape 4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {\sqrt{(x + h) x}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {\sqrt{(x + h) x}}^{2}}$

Étape 4.7

Réécrivez ${\sqrt{(x + h) x}}^{2}$ comme $(x + h) x$ .

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Étape 4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + h) x}$ comme ${((x + h) x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {({((x + h) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h {((x + h) x)}^{1}}$

Étape 4.7.5

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h ((x + h) x)}$

Étape 4.8

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + h}) \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(x + h) x} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 6

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{(x + h) x}$ .

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Étape 6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{x ((x + h) x)} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x (x + h)} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x^{1} (x + h)} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x^{1 + 1} (x + h)} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}}{h (x + h) x}$

Étape 7

Multipliez $- \sqrt{x + h} \sqrt{(x + h) x}$ .

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Étape 7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{(x + h) x (x + h)}}{h (x + h) x}$

Étape 7.2

Élevez $x + h$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{x ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h (x + h) x}$

Étape 7.3

Élevez $x + h$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{x ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h (x + h) x}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{x {(x + h)}^{1 + 1}}}{h (x + h) x}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} (x + h)} - \sqrt{x {(x + h)}^{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{x {(x + h)}^{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 8.2

Remettez dans l’ordre $x$ et ${(x + h)}^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{{(x + h)}^{2} x}}{h (x + h) x}$

Étape 8.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x \sqrt{x + h} - ((x + h) \sqrt{x})}{h (x + h) x}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{x + h} - (x \sqrt{x} + h \sqrt{x})}{h (x + h) x}$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{x + h} - x \sqrt{x} - h \sqrt{x}}{h (x + h) x}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + h}$ comme ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x \sqrt{x} - h \sqrt{x}}{h (x + h) x}$

Étape 9.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x \cdot x^{\frac{1}{2}} - h \sqrt{x}}{h (x + h) x}$

Étape 9.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x \cdot x^{\frac{1}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 9.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x \cdot x^{\frac{1}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 9.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$\frac{x {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x \cdot x^{\frac{1}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 9.4.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x {(h + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) - x \cdot x^{\frac{1}{2}} - h x^{\frac{1}{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 9.4.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - h x^{\frac{1}{2}}}{h (x + h) x}$

Étape 9.4.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- h x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.4.5

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.4.6

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.5

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.5.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.5.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x^{1} - h)}{h (x + h) x}$

Étape 9.6

Simplifiez $- x^{1}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{h (x + h) x}$

Étape 10

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 11

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) (x^{- \frac{1}{2}} x)}$

Étape 11.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}$

Étape 11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x^{- \frac{1}{2} + 1}}$

Étape 11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

Étape 11.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h (x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(h + x)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$