Algèbre Exemples

$27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ par $27$ .

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Étape 1.2.1.2

Divisez ${(\frac{3}{5})}^{x + 1}$ par $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{x + 1} = \frac{125}{27}$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} = \frac{125}{27}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $5^{x + 1}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $5^{x + 1}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$ .

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Étape 3.2.1.1

Associez $\frac{125}{27}$ et $5^{x + 1}$ .

$3^{x + 1} = \frac{125 \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{3} \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Étape 3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{x + 1} = \frac{5^{3 + x + 1}}{27}$

Étape 3.2.1.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{x + 4}}{27}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Étape 4.2

Développez $\ln (3^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Étape 4.3

Réécrivez $\ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$ comme $\ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$ .

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$

Étape 4.4

Développez $\ln (5^{x + 4})$ en déplaçant $x + 4$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (27)$

Étape 4.5

Réécrivez $\ln (27)$ comme $\ln (3^{3})$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (3^{3})$

Étape 4.6

Développez $\ln (3^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - (3 \ln (3))$

Étape 4.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.8.1.1

Simplifiez $(x + 1) \ln (3)$ .

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Étape 4.8.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8.1.1.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.8.2.1

Simplifiez $(x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$ .

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Étape 4.8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + 4 \ln (5) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8.2.1.1.2

Simplifiez $4 \ln (5)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (5^{4}) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - 3 \ln (3)$

Étape 4.8.2.1.1.4

Simplifiez $- 3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (3^{3})$

Étape 4.8.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (27)$

Étape 4.8.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (\frac{625}{27})$

Étape 4.8.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) - \ln (\frac{625}{27}) = 0$

Étape 4.8.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3}{\frac{625}{27}}) = 0$

Étape 4.8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (3 (\frac{27}{625})) = 0$

Étape 4.8.5.2

Multipliez $3 (\frac{27}{625})$ .

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Étape 4.8.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{27}{625}$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3 \cdot 27}{625}) = 0$

Étape 4.8.5.2.2

Multipliez $3$ par $27$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{81}{625}) = 0$

Étape 4.8.6

Soustrayez $\ln (\frac{81}{625})$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Étape 4.8.7

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

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Étape 4.8.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Étape 4.8.7.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Étape 4.8.7.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Étape 4.8.8

Réécrivez $- 1 \ln (5)$ comme $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Étape 4.8.9

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ par $\ln (3) - \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 4.8.9.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ par $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.8.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.8.9.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - \ln (5)$ .

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Étape 4.8.9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.8.9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 4.8.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.8.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = - 4$