Algèbre Exemples

$12 < y (8 - y)$

Étape 1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$y (8 - y) > 12$

Étape 2

Simplifiez $y (8 - y)$ .

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Étape 2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot 8 + y (- y) > 12$

Étape 2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez $8$ à gauche de $y$ .

$8 \cdot y + y (- y) > 12$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 \cdot y - y \cdot y > 12$

Étape 2.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $y$ .

$8 y - (y \cdot y) > 12$

Étape 2.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$8 y - y^{2} > 12$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$8 y - y^{2} = 12$

Étape 4

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$8 y - y^{2} - 12 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $8 y - y^{2} - 12$ .

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Étape 5.1.1

Remettez dans l’ordre $8 y$ et $- y^{2}$ .

$- y^{2} + 8 y - 12 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 8 y - 12 = 0$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $8 y$ .

$- (y^{2}) - (- 8 y) - 12 = 0$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$- (y^{2}) - (- 8 y) - 1 \cdot 12 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - (- 8 y)$ .

$- (y^{2} - 8 y) - 1 \cdot 12 = 0$

Étape 5.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} - 8 y) - 1 (12)$ .

$- (y^{2} - 8 y + 12) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez $y^{2} - 8 y + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((y - 6) (y - 2)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (y - 6) (y - 2) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 2 = 0$

Étape 7

Définissez $y - 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $y - 6$ égal à $0$ .

$y - 6 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6$

Étape 8

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (y - 6) (y - 2) = 0$ vraie.

$y = 6, 2$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < 2$

$2 < y < 6$

$y > 6$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$12 < (0) (8 - (0))$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $12$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < y < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < y < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 4$

Étape 11.2.2

Remplacez $y$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$12 < (4) (8 - (4))$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $12$ est inférieur au côté droit $16$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 8$

Étape 11.3.2

Remplacez $y$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$12 < (8) (8 - (8))$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $12$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < 2$ Faux

$2 < y < 6$ Vrai

$y > 6$ Faux

$y < 2$ Faux

$2 < y < 6$ Vrai

$y > 6$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < y < 6$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < y < 6$

Notation d’intervalle :

$(2, 6)$

Étape 14