Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2} - 3$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ par $x^{2} - 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ par $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = y x^{2} + y \cdot - 3 + 1 (x^{2} - 3)$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$1 = y x^{2} - 3 \cdot y + 1 (x^{2} - 3)$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $x^{2} - 3$ par $1$ .

$1 = y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$ .

$y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3 y$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{2} + x^{2} - 3 = 1 + 3 y$

Étape 3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y x^{2} + x^{2} = 1 + 3 y + 3$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$y x^{2} + x^{2} = 3 y + 4$

Étape 3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{2} + x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y x^{2}$ .

$x^{2} y + x^{2} = 3 y + 4$

Étape 3.3.2

Multipliez par $1$ .

$x^{2} y + x^{2} \cdot 1 = 3 y + 4$

Étape 3.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ par $y + 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ par $y + 1$ .

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} = \frac{3 y + 4}{y + 1}$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$

Étape 3.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ comme $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ par $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$

Étape 3.6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ par $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}}$

Étape 3.6.3.2

Élevez $\sqrt{y + 1}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}}$

Étape 3.6.3.3

Élevez $\sqrt{y + 1}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}}$

Étape 3.6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}$

Étape 3.6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}}$

Étape 3.6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ comme $y + 1$ .

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Étape 3.6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}}$

Étape 3.6.3.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{y + 1}$

Étape 3.6.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Étape 3.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Étape 3.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Étape 3.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$