Algèbre Exemples

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Étape 1

Remplacez le $\tan^{2} (θ)$ par $\sec^{2} (θ) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

Étape 2

Remplacez $\sec (θ)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u)$

Étape 3

Simplifiez $\frac{3}{2} u$ .

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Étape 3.1

Réécrivez.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u$

Étape 3.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Étape 4

Soustrayez $\frac{3 u}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Étape 5

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 u}{2}$ dans le numérateur.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Étape 5.3

Déplacez $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.1.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 12

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = 2$ .

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Étape 12.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (2)$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 12.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 13.1

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{1}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$