Algèbre Exemples

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $2 a$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a) = x (2 a)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a)$ .

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Étape 3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Étape 3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 (a)} a = x (2 a)$

Étape 3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Étape 3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Étape 3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Étape 3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} = x (2 a)$

Étape 3.1.1.4

Remettez dans l’ordre $b^{2}$ et $- 4 a c$ .

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = x (2 a)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a$

Étape 4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $b$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a + b$

Étape 4.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 4 a c + b^{2}}$ comme ${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 4 a c + b^{2})}^{1} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$- 4 a c + b^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez ${(2 x a + b)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Réécrivez ${(2 x a + b)}^{2}$ comme $(2 x a + b) (2 x a + b)$ .

$- 4 a c + b^{2} = (2 x a + b) (2 x a + b)$

Étape 4.3.3.1.2

Développez $(2 x a + b) (2 x a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a + b) + b (2 x a + b)$

Étape 4.3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a + b)$

Étape 4.3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 (x \cdot x) a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} (a \cdot a) \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a^{2} \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b \cdot b$

Étape 4.3.3.1.3.1.5

Multipliez $b$ par $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b^{2}$

Étape 4.3.3.1.3.2

Déplacez $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 a b x + 2 a b x + b^{2}$

Étape 4.3.3.1.3.3

Additionnez $2 a b x$ et $2 a b x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2}$

Étape 4.4

Résolvez $a$ .

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Étape 4.4.1

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} = - 4 a c + b^{2}$

Étape 4.4.2

Ajoutez $4 a c$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} + 4 a c = b^{2}$

Étape 4.4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.3.1

Soustrayez $b^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = b^{2} - b^{2}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $b^{2}$ de $b^{2}$ .

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$

Étape 4.4.4

Factorisez $4 a$ à partir de $4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c$ .

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $4 a$ à partir de $4 x^{2} a^{2}$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a b x + 4 a c = 0$

Étape 4.4.4.2

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a b x$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a c = 0$

Étape 4.4.4.3

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a c$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a (c) = 0$

Étape 4.4.4.4

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a (x^{2} a) + 4 a (b x)$ .

$4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c) = 0$

Étape 4.4.4.5

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c)$ .

$4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$

Étape 4.4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a = 0$

$x^{2} a + b x + c = 0$

Étape 4.4.6

Définissez $a$ égal à $0$ .

$a = 0$

Étape 4.4.7

Définissez $x^{2} a + b x + c$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 4.4.7.1

Définissez $x^{2} a + b x + c$ égal à $0$ .

$x^{2} a + b x + c = 0$

Étape 4.4.7.2

Résolvez $x^{2} a + b x + c = 0$ pour $a$ .

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Étape 4.4.7.2.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.4.7.2.1.1

Soustrayez $b x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} a + c = - b x$

Étape 4.4.7.2.1.2

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} a = - b x - c$

Étape 4.4.7.2.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} a = - b x - c$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.4.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} a = - b x - c$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.4.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.7.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.7.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.4.7.2.2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- b x$ .

$a = \frac{x (- b)}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.7.2.2.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$a = \frac{- b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 4.4.7.2.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

Étape 4.4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$ vraie.

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$