Algèbre Exemples

$\frac{- 2 y}{2 y^{2} + 5 y} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2} + 5 y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{- 2 y}{y (2 y) + 5 y} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $5 y$ .

$\frac{- 2 y}{y (2 y) + y \cdot 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 y) + y \cdot 5$ .

$\frac{- 2 y}{y (2 y + 5)} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y}{y (2 y + 5)} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + y - 10}$

Étape 1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 10 = - 20$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Multipliez par $1$ .

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + 1 y - 10}$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 4$ plus $5$

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} + (- 4 + 5) y - 10}$

Étape 1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y^{2} - 4 y + 5 y - 10}$

Étape 1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{(2 y^{2} - 4 y) + 5 y - 10}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{2 y (y - 2) + 5 (y - 2)}$

Étape 1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y - 2$ .

$- \frac{2}{2 y + 5} + \frac{y - 3}{(y - 2) (2 y + 5)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{2}{2 y + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$- \frac{2}{2 y + 5} \cdot \frac{y - 2}{y - 2} + \frac{y - 3}{(y - 2) (2 y + 5)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 y + 5) (y - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2}{2 y + 5}$ par $\frac{y - 2}{y - 2}$ .

$- \frac{2 (y - 2)}{(2 y + 5) (y - 2)} + \frac{y - 3}{(y - 2) (2 y + 5)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(y - 2) (2 y + 5)$ .

$- \frac{2 (y - 2)}{(2 y + 5) (y - 2)} + \frac{y - 3}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (y - 2) + y - 3}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 y - 2 \cdot - 2 + y - 3}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y + 4 + y - 3}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 5.3

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$\frac{- y + 4 - 3}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 5.4

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{- y + 1}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{- (y) + 1}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 6.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y) - 1 (- 1)}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (y - 1)}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{- 1 (y - 1)}{(2 y + 5) (y - 2)}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y - 1}{(2 y + 5) (y - 2)}$