Algèbre Exemples

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{5} x + 5 y + 5 = 0$

Étape 1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{5} x + 5 y = - 5$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - \frac{2}{5} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{5}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{5}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{5}$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{5}$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{2}{5}}{2}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{5}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 2}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{5}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{5}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{5}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{25})}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{25}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{25}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{25}}{4}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{4}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{25}$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $\frac{1}{25}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{25}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{1}{25}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{1}{25}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - \frac{2}{5} x$ par ${(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{1}{25}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{5} x + 5 y = - 5$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} - \frac{1}{25} + y^{2} + 5 y = - 5$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{25}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{25}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + y^{2} + 5 y = - 5 + \frac{1}{25}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} + 5 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{5}{2}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} + 5 y$ par ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{5} x + 5 y = - 5$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} = - 5 + \frac{1}{25}$

Étape 7

Déplacez $- \frac{25}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{25}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = - 5 + \frac{1}{25} + \frac{25}{4}$

Étape 8

Simplifiez $- 5 + \frac{1}{25} + \frac{25}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Écrivez $- 5$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5}{1} + \frac{1}{25} + \frac{25}{4}$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{100}{100}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5}{1} \cdot \frac{100}{100} + \frac{1}{25} + \frac{25}{4}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{- 5}{1}$ par $\frac{100}{100}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{1}{25} + \frac{25}{4}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{1}{25}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{1}{25} \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{1}{25}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{25}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $\frac{25}{25}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{25}{4} \cdot \frac{25}{25}$

Étape 8.1.7

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $\frac{25}{25}$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{25 \cdot 4} + \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25}$

Étape 8.1.8

Réorganisez les facteurs de $25 \cdot 4$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{4 \cdot 25} + \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25}$

Étape 8.1.9

Multipliez $4$ par $25$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{100} + \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25}$

Étape 8.1.10

Multipliez $4$ par $25$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100}{100} + \frac{4}{100} + \frac{25 \cdot 25}{100}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 5 \cdot 100 + 4 + 25 \cdot 25}{100}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $- 5$ par $100$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 500 + 4 + 25 \cdot 25}{100}$

Étape 8.3.2

Multipliez $25$ par $25$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 500 + 4 + 625}{100}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Additionnez $- 500$ et $4$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 496 + 625}{100}$

Étape 8.4.2

Additionnez $- 496$ et $625$ .

${(x - \frac{1}{5})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{129}{100}$