Algèbre Exemples

${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}} = {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}} = {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (x^{\frac{a}{3}} y^{\frac{a}{2}})$ comme $\ln (x^{\frac{a}{3}}) + \ln (y^{\frac{a}{2}})$ .

$\ln (x^{\frac{a}{3}}) + \ln (y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3.2

Développez $\ln (x^{\frac{a}{3}})$ en déplaçant $\frac{a}{3}$ hors du logarithme.

$\frac{a}{3} \ln (x) + \ln (y^{\frac{a}{2}}) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3.3

Développez $\ln (y^{\frac{a}{2}})$ en déplaçant $\frac{a}{2}$ hors du logarithme.

$\frac{a}{3} \ln (x) + \frac{a}{2} \ln (y) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3.4

Associez $\frac{a}{3}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a}{2} \ln (y) = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3.5

Associez $\frac{a}{2}$ et $\ln (y)$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $\ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez ${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}})$

Étape 4.1.1.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}})$

Étape 4.1.1.3

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.1.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.1.1.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.1.1.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{2}{3 \cdot 2}})$

Étape 4.1.1.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}})$

Étape 4.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{3 + 2}{6}})$

Étape 4.1.1.6

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2} y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln ({(x^{2})}^{\frac{5}{6}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 4.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 (\frac{5}{6})} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 \frac{5}{2 (3)}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{2 \frac{5}{2 \cdot 3}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} {(y^{3})}^{\frac{5}{6}})$

Étape 4.1.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{\frac{5}{6}}$ .

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 (\frac{5}{6})})$

Étape 4.1.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 \frac{5}{3 (2)}})$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{3 \frac{5}{3 \cdot 2}})$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ par $6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a \ln (x)}{3} + \frac{a \ln (y)}{2} = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ par $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot 6 + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$a \ln (x) \cdot 2 + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $a \ln (x)$ .

$2 \cdot (a \ln (x)) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot 6 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 a \ln (x) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot (2 (3)) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 a \ln (x) + \frac{a \ln (y)}{2} \cdot (2 \cdot 3) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 a \ln (x) + a \ln (y) \cdot 3 = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.2.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $a \ln (y)$ .

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) \cdot 6$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $\ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ .

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) - 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}}) = 0$

Étape 7

Ajoutez $6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ aux deux côtés de l’équation.

$2 a \ln (x) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 8

Factorisez $a$ à partir de $2 a \ln (x) + 3 a \ln (y)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $a$ à partir de $2 a \ln (x)$ .

$a (2 \ln (x)) + 3 a \ln (y) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 8.2

Factorisez $a$ à partir de $3 a \ln (y)$ .

$a (2 \ln (x)) + a (3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 8.3

Factorisez $a$ à partir de $a (2 \ln (x)) + a (3 \ln (y))$ .

$a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ par $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $a (2 \ln (x) + 3 \ln (y)) = 6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})$ par $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ .

$\frac{a (2 \ln (x) + 3 \ln (y))}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)} = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \ln (x) + 3 \ln (y)$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a (2 \ln (x) + 3 \ln (y))}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)} = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{6 \ln (x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{5}{2}})}{2 \ln (x) + 3 \ln (y)}$