Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{3 x + 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - (3 x + 3)}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - (3 x) - 1 \cdot 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 1 \cdot 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 3 x + 2 - 3 x - 3$ .

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Étape 1.3.1.1

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{2} + 0 + 2 - 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.3.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 2 - 3}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 1}$