Algèbre Exemples

$\frac{a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 b^{2}$ comme ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b + {(2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 a b = 2 \cdot a \cdot (2 b)$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot (2 b) + {(2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a^{3} - 8 b^{3}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8 b^{3}$ comme ${(2 b)}^{3}$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{a^{3} - {(2 b)}^{3}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = 2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - (2 b)) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + a (2 b) + {(2 b)}^{2})}$

Étape 2.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + {(2 b)}^{2})}$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de produit à $2 b$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 2^{2} b^{2})}$

Étape 2.3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(a - 2 b)}^{2}}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à ${(a - 2 b)}^{2}$ et $a - 2 b$ .

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Étape 3.1

Factorisez $a - 2 b$ à partir de ${(a - 2 b)}^{2}$ .

$\frac{(a - 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 2 b) (a - 2 b)}{(a - 2 b) (a^{2} + 2 a b + 4 b^{2})}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 2 b}{a^{2} + 2 a b + 4 b^{2}}$