Algèbre Exemples

$\sin^{3} (x) - \cos^{3} (x)$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = \sin (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 2

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$(\sin (x) - \cos (x)) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\sin (x) - \cos (x)) (1 + \sin (x) \cos (x))$

Étape 4

Développez $(\sin (x) - \cos (x)) (1 + \sin (x) \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (1 + \sin (x) \cos (x)) - \cos (x) (1 + \sin (x) \cos (x))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) - \cos (x) (1 + \sin (x) \cos (x))$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) + \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.2

Multipliez $\sin (x) (\sin (x) \cos (x))$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$

Étape 5.4

Multipliez $- \cos (x) (\sin (x) \cos (x))$ .

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Étape 5.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)$

Étape 5.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)$

Étape 5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)$

Étape 5.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x)$