Algèbre Exemples

${(x + 1)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre décroissant pour utiliser la règle de Descartes.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 5)$

Étape 1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

Étape 1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

Étape 1.4

Développez $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + 1 x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x + 1 \cdot - 5$

Étape 1.5.1.6

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x - 5$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + x - 5$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $- 10 x$ et $x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Étape 2

Pour déterminer le nombre possible de racines positives, regardez les signes sur les coefficients et comptez le nombre de fois que les signes sur les coefficients passent de positif à négatif ou de négatif à positif.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

Étape 3

Comme il y a $1$ changement de signe du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $1$ racine positive (règle des signes de Descartes).

Racines positives : $1$

Étape 4

Pour déterminer le nombre possible de racines négatives, remplacez $x$ par $- x$ et renouvelez la comparaison des signes.

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Étape 5.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - 9 (- x) - 5$

Étape 5.5

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 9 (- x) - 5$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 5$

Étape 6

Comme il y a $2$ changements de signes du terme le plus haut au terme le plus bas, il y a au plus $2$ racines négatives (règle des signes de Descartes). Les autres nombres possibles des racines négatives sont déterminés en soustrayant des paires des racines (ex : $2 - 2$ ).

Racines négatives : $2$ ou $0$

Étape 7

Le nombre possible de racines positives est $1$ , et le nombre possible de racines négatives est $2$ ou $0$ .

Racines positives : $1$

Racines négatives : $2$ ou $0$