Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \div \frac{2 x - 10}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{2 x - 10}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x - 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x - 10}$

Étape 4

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 10$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) - 10}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot - 5}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x - 5)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $2 (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 5) \cdot 2}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2) (x + 2)}{2}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) \frac{x + 2}{2}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{x + 2}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Étape 8

Associez $x$ et $\frac{x + 2}{2}$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + 1 \frac{x + 2}{2}$

Étape 9

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $1$ .

$\frac{x (x + 2)}{2} + \frac{x + 2}{2}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 2) + x + 2}{2}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Étape 11.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + x + 2}{2}$

Étape 11.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Étape 12

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Étape 13

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{2}$

Étape 14

Développez $(x + 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 2) + 1 (x + 2)}{2}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{2}$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{2}$

Étape 15.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + x + 2}{2}$

Étape 15.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$

Étape 16

Divisez la fraction $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{2}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2} + 3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 17

Divisez la fraction $\frac{x^{2} + 3 x}{2}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 18

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} + 1$