Algèbre Exemples

$\frac{\tan (\frac{5 π}{4}) + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{7 π}{12})$ est $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

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Étape 1.3.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.6

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.12

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.13

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.15

Simplifiez

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.16

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.17

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.18.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 1.3.4.18.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \tan (\frac{7 π}{12})}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{7 π}{12})$ est $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})}$

Étape 2.4.2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

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Étape 2.4.4.1

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.6

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})}$

Étape 2.4.4.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})}$

Étape 2.4.4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})}$

Étape 2.4.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})}$

Étape 2.4.4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})}$

Étape 2.4.4.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})}$

Étape 2.4.4.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})}$

Étape 2.4.4.12

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})}$

Étape 2.4.4.13

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})}$

Étape 2.4.4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})}$

Étape 2.4.4.15

Simplifiez

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})}$

Étape 2.4.4.16

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})}$

Étape 2.4.4.17

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.4.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})}$

Étape 2.4.4.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})}$

Étape 2.4.4.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Étape 2.4.4.18

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.4.18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.4.18.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Étape 2.4.4.18.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Étape 2.4.4.18.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})}$

Étape 2.4.4.18.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})}$

Étape 2.4.4.18.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})}$

Étape 2.4.4.18.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})}$

Étape 2.4.4.18.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})}$

Étape 2.4.4.18.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}$

Étape 2.5

Multipliez $- 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + 1 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ par $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}} \cdot \frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ par $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{(1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 5.2

Élevez $1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1} {(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1 + 1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 6

Réécrivez ${(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 7

Développez $(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4

Multipliez $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 1 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ par $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4.3

Élevez $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4.4

Élevez $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}$ comme $7 + 4 \sqrt{3}$ .

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Étape 8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ comme ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {({(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.1.5.5

Simplifiez

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 7 + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.2

Additionnez $1$ et $7$ .

$\frac{8 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 8.3

Soustrayez $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ de $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $8 - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}$ et $- 6 - 4 \sqrt{3}$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (4) - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 (4) + 2 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.4

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 2 (2 \sqrt{3})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 2 (2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 9.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3 + 2 (- 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3) + 2 (- 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 (- 3 - 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 (- 3 - 2 \sqrt{3})}$

Étape 9.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$

Étape 10

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$

Étape 11

Multipliez $\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{(- 3 - 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}$

Étape 12

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{9 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 15

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3) + 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 16

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3) - (- 2 \sqrt{3}))}{3}$

Étape 17

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- 2 \sqrt{3})$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3 - 2 \sqrt{3}))}{3}$

Étape 18

Simplifiez l’expression.

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Étape 18.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 18.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$ par $1$ .

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Forme décimale :

$- 0.57735026 \dots$