Algèbre Exemples

${(x - y)}^{3} - {(x + y)}^{3}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x - y$ et $b = x + y$ .

$(x - y - (x + y)) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - y - x - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$(- y + 0 - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.3

Additionnez $- y$ et $0$ .

$(- y - y) ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$- 2 y ({(x - y)}^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.5

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$- 2 y ((x - y) (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.6

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x (x - y) - y (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - y (- y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.4.1

Déplacez $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - y x + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Déplacez $y$ .

$- 2 y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.7.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + (x - y) (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.8

Développez $(x - y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x (x + y) - y (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - y (x + y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - y x - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.9

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x y - y x - y \cdot y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y$ et $- y x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x y - x y - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.9.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x + 0 - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.9.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x \cdot x - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y \cdot y + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.10.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.2.1

Déplacez $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - (y \cdot y) + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + {(x + y)}^{2})$

Étape 2.11

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + (x + y) (x + y))$

Étape 2.12

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x (x + y) + y (x + y))$

Étape 2.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y))$

Étape 2.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 2.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 2.13.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Étape 2.13.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Étape 2.13.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$- 2 y (x^{2} - 2 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Étape 2.14

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 y (2 x^{2} - 2 x y + y^{2} - y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Étape 2.15

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 y (3 x^{2} - 2 x y + y^{2} - y^{2} + 2 x y + y^{2})$

Étape 2.16

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2} - y^{2} + 0 + y^{2})$

Étape 2.17

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2} - y^{2} + y^{2})$

Étape 2.18

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 2 y (3 x^{2} + 0 + y^{2})$

Étape 2.19

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 y (3 x^{2} + y^{2})$