Algèbre Exemples

$343 a^{6} + \frac{1}{27} y^{9}$

Étape 1

Réécrivez $343 a^{6}$ comme ${(7 a^{2})}^{3}$ .

${(7 a^{2})}^{3} + \frac{1}{27} y^{9}$

Étape 2

Réécrivez $\frac{1}{27} y^{9}$ comme ${(\frac{1}{3} y^{3})}^{3}$ .

${(7 a^{2})}^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{3}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 7 a^{2}$ et $b = \frac{1}{3} y^{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{1}{3} y^{3}) ({(7 a^{2})}^{2} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) ({(7 a^{2})}^{2} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $7 a^{2}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (7^{2} {(a^{2})}^{2} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 {(a^{2})}^{2} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{2 \cdot 2} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - (7 a^{2}) (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - 7 a^{2} (\frac{1}{3} y^{3}) + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - 7 \cdot \frac{1}{3} a^{2} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.7

Multipliez $- 7$ par $\frac{1}{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - 7 (\frac{1}{3}) a^{2} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.8

Associez $- 7$ et $\frac{1}{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} + \frac{- 7}{3} a^{2} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7}{3} a^{2} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.10

Associez $a^{2}$ et $\frac{7}{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{a^{2} \cdot 7}{3} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.11

Déplacez $7$ à gauche de $a^{2}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 \cdot a^{2}}{3} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.12

Multipliez $7$ par $a^{2}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 a^{2}}{3} y^{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.13

Associez $y^{3}$ et $\frac{7 a^{2}}{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{y^{3} (7 a^{2})}{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.14

Supprimez les parenthèses.

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{y^{3} \cdot 7 a^{2}}{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.15

Déplacez $7$ à gauche de $y^{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 \cdot y^{3} a^{2}}{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.16

Multipliez $7$ par $y^{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + {(\frac{1}{3} y^{3})}^{2})$

Étape 4.17

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + {(\frac{y^{3}}{3})}^{2})$

Étape 4.18

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{3}}{3}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + \frac{{(y^{3})}^{2}}{3^{2}})$

Étape 4.19

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 4.19.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + \frac{y^{3 \cdot 2}}{3^{2}})$

Étape 4.19.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + \frac{y^{6}}{3^{2}})$

Étape 4.20

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (49 a^{4} - \frac{7 y^{3} a^{2}}{3} + \frac{y^{6}}{9})$

Étape 4.21

Factorisez.

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Étape 4.21.1

Factorisez $\frac{1}{9}$ dans chaque terme.

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{1}{9} (441 a^{4} - 21 y^{3} a^{2} + y^{6}))$

Étape 4.21.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(7 a^{2} + \frac{y^{3}}{3}) \frac{1}{9} (441 a^{4} - 21 y^{3} a^{2} + y^{6})$