Algèbre Exemples

$x^{2} < 15 x - 7$

Étape 1

Soustrayez $15 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 15 x < - 7$

Étape 2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 15 x + 7 < 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 15 x + 7 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 15$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $28$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $28$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Étape 7.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Étape 8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 15$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $28$ de $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Étape 8.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}, \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} < 15 (0) - 7$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $0$ n’est pas inférieur au côté droit $- 7$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

${(3)}^{2} < 15 (3) - 7$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $9$ est inférieur au côté droit $38$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 17$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $17$ dans l’inégalité d’origine.

${(17)}^{2} < 15 (17) - 7$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $289$ n’est pas inférieur au côté droit $248$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ Faux

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Vrai

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Faux

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ Faux

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Vrai

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Étape 13

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(\frac{15 - \sqrt{197}}{2}, \frac{15 + \sqrt{197}}{2})$

Étape 14