Algèbre Exemples

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ par $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $p^{2} - q^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $p^{2} - q^{2}$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $q - p$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $q - p$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $p + q$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $p + q$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $(p + q) q$ à partir de $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $(p + q) q$ à partir de $(q - p) (p + q) (p q)$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.1.2

Factorisez $(p + q) q$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.1.3

Factorisez $(p + q) q$ à partir de $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.3

Multipliez $p$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.3.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.4

Additionnez $- p^{2}$ et $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.5

Additionnez $q p$ et $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.6

Factorisez $q$ à partir de $q p - q^{2}$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $q$ à partir de $q p$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.6.2

Factorisez $q$ à partir de $- q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.6.3

Factorisez $q$ à partir de $q (p) + q (- q)$ .

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.7

Associez les exposants.

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Étape 5.7.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.7.2

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.1.2

Factorisez $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.1.3

Factorisez $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.1.4

Factorisez $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ à partir de $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = p$ et $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3

Associez les exposants.

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Étape 6.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.5

Élevez $- p + q$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.6

Élevez $- p + q$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.4

Factorisez le signe négatif.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.6

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.6.1

Déplacez $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.5.6.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.6

Associez les termes opposés dans $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

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Étape 6.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $q p$ et $- p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $p q$ de $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.6.3

Additionnez $p^{2}$ et $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Étape 6.6.4

Soustrayez $p^{2}$ de $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Étape 6.6.5

Additionnez $- q^{2} + 4 q^{2}$ et $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Étape 6.7

Additionnez $- q^{2}$ et $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Étape 6.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $p + q$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $q^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $p - q$ et ${(- p + q)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $p$ .

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- q$ .

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Étape 7.3.4

Factorisez $- p + q$ à partir de $- 1 (- p + q)$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Étape 7.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.5.1

Factorisez $- p + q$ à partir de $- 3 {(- p + q)}^{2}$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Étape 7.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Étape 7.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Étape 7.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- p$ .

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $q$ .

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (p) - 1 (- q)$ .

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Étape 7.8

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 7.8.1

Réécrivez $- (p - q)$ comme $- 1 (p - q)$ .

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Étape 7.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$