Algèbre Exemples

$y = \sqrt{1 - x^{3}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{1 - y^{3}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{3}} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - y^{3}}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - y^{3}}$ comme ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$1 - y^{3} = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = x^{2} - 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x^{2} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x^{2} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y^{3} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{3} = - x^{2} + 1$

Étape 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 1}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- x^{2} + 1}$ .

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Étape 2.4.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 1^{2}}$

Étape 2.4.4.1.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{1^{2} - x^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{1 - x^{3}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1 - x^{3}}) (1 - (\sqrt{1 - x^{3}}))}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1 - x^{3}}) (1 - (\sqrt{1 - x^{3}}))}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{1^{3} - x^{3}}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Étape 4.2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1 - x^{3}})}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{1^{3} - x^{3}})}$

Étape 4.2.7

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})})}$

Étape 4.2.8

Simplifiez

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Étape 4.2.8.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})})}$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(1 + \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})}) (1 - \sqrt{(1 - x) (1 + x + x^{2})})}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1 - {(\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)})}^{3}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{1^{3} - {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}$

Étape 4.3.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + {\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2})}$

Étape 4.3.5.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{{((1 + x) (1 - x))}^{2}})}$

Étape 4.3.5.4

Appliquez la règle de produit à $(1 + x) (1 - x)$ .

$f (\sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) = \sqrt{(1 - \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}) (1 + \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}})}$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(1 + x) (1 - x)}$