Algèbre Exemples

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ comme ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Étape 3.3.1.5

Multipliez les exposants dans ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Étape 3.3.1.5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’inégalité.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Étape 4.2

Réécrivez $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ comme $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Étape 4.3

Développez $\ln (3^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Étape 4.4

Supprimez les parenthèses.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Étape 4.5

Réécrivez $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ comme $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Étape 4.6

Développez $\ln (3^{4 x + 2})$ en déplaçant $4 x + 2$ hors du logarithme.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Étape 4.7

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Étape 4.8

Soustrayez $(4 x + 2) \ln (3)$ de $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Étape 4.9

Supprimez les parenthèses.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

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Étape 4.10.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.1.1.4

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.1.3

Multipliez $27$ par $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Étape 4.10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.10.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Étape 4.10.2.2

Multipliez.

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Étape 4.10.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Étape 4.10.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Étape 4.10.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Étape 4.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.10.3.1

Simplifiez $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

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Étape 4.10.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.3.1.1.1

Simplifiez $- 4 \ln (3)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Étape 4.10.3.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Étape 4.10.3.1.1.3

Simplifiez $- 2 \ln (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Étape 4.10.3.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Étape 4.10.3.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Étape 4.10.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Étape 4.10.5

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Étape 4.10.6

Multipliez $81$ par $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Étape 4.10.7

Soustrayez $\ln (729)$ des deux côtés de l’équation.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Étape 4.10.8

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

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Étape 4.10.8.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Étape 4.10.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Étape 4.10.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Étape 4.10.9

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Étape 4.10.10

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ par $- \ln (3) + \ln (81)$ et simplifiez.

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Étape 4.10.10.1

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ par $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Étape 4.10.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.10.10.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + \ln (81)$ .

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Étape 4.10.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Étape 4.10.10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Étape 4.10.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.10.10.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Étape 4.10.10.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Étape 4.10.10.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Étape 4.10.10.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Étape 4.10.10.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.10.10.3.5.1

Réécrivez $- (\ln (3) - \ln (81))$ comme $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Étape 4.10.10.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Étape 4.10.10.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Étape 4.10.10.3.5.4

Multipliez $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Étape 5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Étape 7