Algèbre Exemples

$y = a \sqrt[3]{x - h} + k$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a \sqrt[3]{x - h} + k = y$ .

$a \sqrt[3]{x - h} + k = y$

Étape 2

Soustrayez $k$ des deux côtés de l’équation.

$a \sqrt[3]{x - h} = y - k$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(a \sqrt[3]{x - h})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - h}$ comme ${(x - h)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(a {(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(a {(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $a {(x - h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$a^{3} {({(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - h)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{3} {(x - h)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$a^{3} {(x - h)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$a^{3} {(x - h)}^{1} = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez

$a^{3} (x - h) = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$a^{3} x + a^{3} (- h) = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} x - a^{3} h = {(y - k)}^{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(y - k)}^{3}$ .

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Étape 4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} + 3 y^{2} (- k) + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} + 3 \cdot - 1 y^{2} k + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y {(- k)}^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $- k$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y ({(- 1)}^{2} k^{2}) + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 \cdot {(- 1)}^{2} y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 \cdot 1 y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} + {(- k)}^{3}$

Étape 4.3.1.2.7

Appliquez la règle de produit à $- k$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} + {(- 1)}^{3} k^{3}$

Étape 4.3.1.2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$a^{3} x - a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3}$

Étape 5

Résolvez $h$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $a^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$ par $- a^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- a^{3} h = y^{3} - 3 y^{2} k + 3 y k^{2} - k^{3} - a^{3} x$ par $- a^{3}$ .

$\frac{- a^{3} h}{- a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{a^{3} h}{a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $a^{3}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a^{3} h}{a^{3}} = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $h$ par $1$ .

$h = \frac{y^{3}}{- a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{- 3 y^{2} k}{- a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} + \frac{3 y k^{2}}{- a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{- k^{3}}{- a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{- a^{3} x}{- a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{3} x}{a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $a^{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{3} x}{a^{3}}$

Étape 5.2.3.1.6.2

Divisez $x$ par $1$ .

$h = - \frac{y^{3}}{a^{3}} + \frac{3 y^{2} k}{a^{3}} - \frac{3 y k^{2}}{a^{3}} + \frac{k^{3}}{a^{3}} + x$