Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{x - 8}{8})}^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{x - 8}{8})}^{3}$ comme une équation.

$y = {(\frac{x - 8}{8})}^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{y - 8}{8})}^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{y - 8}{8})}^{3} = x$ .

${(\frac{y - 8}{8})}^{3} = x$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\frac{y - 8}{8} = \sqrt[3]{x}$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y - 8}{8} = 8 \sqrt[3]{x}$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y - 8}{8} = 8 \sqrt[3]{x}$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 8 = 8 \sqrt[3]{x}$

Étape 3.5

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 \sqrt[3]{x} + 8$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 8 \sqrt[3]{x} + 8$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 8 \sqrt[3]{x} + 8$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x - 8}{8})}^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = 8 \sqrt[3]{{(\frac{x - 8}{8})}^{3}} + 8$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = 8 \sqrt[3]{{(\frac{x - 8}{8})}^{3}} + 8$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = 8 (\frac{x - 8}{8}) + 8$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = 8 (\frac{x - 8}{8}) + 8$

Étape 5.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = x - 8 + 8$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 8 + 8$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 8}{8})}^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (8 \sqrt[3]{x} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{(8 \sqrt[3]{x} + 8) - 8}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $(8 \sqrt[3]{x} + 8) - 8$ et $8$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 \sqrt[3]{x}$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x}) + 8 - 8}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x}) + 8 \cdot 1 - 8}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (\sqrt[3]{x}) + 8 (1)$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x} + 1) - 8}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x} + 1) + 8 \cdot - 1}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (\sqrt[3]{x} + 1) + 8 (- 1)$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x} + 1 - 1)}{8})}^{3}$

Étape 5.3.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x} + 1 - 1)}{8 (1)})}^{3}$

Étape 5.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{8 (\sqrt[3]{x} + 1 - 1)}{8 \cdot 1})}^{3}$

Étape 5.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\frac{\sqrt[3]{x} + 1 - 1}{1})}^{3}$

Étape 5.3.3.6.4

Divisez $\sqrt[3]{x} + 1 - 1$ par $1$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\sqrt[3]{x} + 1 - 1)}^{3}$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{x} + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = x$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$f (8 \sqrt[3]{x} + 8) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 8 \sqrt[3]{x} + 8$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x - 8}{8})}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 8 \sqrt[3]{x} + 8$