Algèbre Exemples

$r^{2} = h^{2} + \frac{p^{2}}{q^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $h^{2} + \frac{p^{2}}{q^{2}} = r^{2}$ .

$h^{2} + \frac{p^{2}}{q^{2}} = r^{2}$

Étape 2

Soustrayez $h^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{p^{2}}{q^{2}} = r^{2} - h^{2}$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$q^{2}, 1, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$q^{2}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{p^{2}}{q^{2}} = r^{2} - h^{2}$ par $q^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{p^{2}}{q^{2}} = r^{2} - h^{2}$ par $q^{2}$ .

$\frac{p^{2}}{q^{2}} q^{2} = r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $q^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{2}}{q^{2}} q^{2} = r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$p^{2} = r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2} = p^{2}$ .

$r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2} = p^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $q^{2}$ à partir de $r^{2} q^{2} - h^{2} q^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $q^{2}$ à partir de $r^{2} q^{2}$ .

$q^{2} r^{2} - h^{2} q^{2} = p^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $q^{2}$ à partir de $- h^{2} q^{2}$ .

$q^{2} r^{2} + q^{2} (- h^{2}) = p^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $q^{2}$ à partir de $q^{2} r^{2} + q^{2} (- h^{2})$ .

$q^{2} (r^{2} - h^{2}) = p^{2}$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = h$ .

$q^{2} ((r + h) (r - h)) = p^{2}$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$q^{2} (r + h) (r - h) = p^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $q^{2} (r + h) (r - h) = p^{2}$ par $(r + h) (r - h)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $q^{2} (r + h) (r - h) = p^{2}$ par $(r + h) (r - h)$ .

$\frac{q^{2} (r + h) (r - h)}{(r + h) (r - h)} = \frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $r + h$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{q^{2} (r + h) (r - h)}{(r + h) (r - h)} = \frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{q^{2} (r - h)}{r - h} = \frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $r - h$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{q^{2} (r - h)}{r - h} = \frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $q^{2}$ par $1$ .

$q^{2} = \frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$q = \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}}$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{p^{2}}{(r + h) (r - h)}}$ comme $\frac{\sqrt{p^{2}}}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$ .

$q = \pm \frac{\sqrt{p^{2}}}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$q = \pm \frac{p}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6.3

Multipliez $\frac{p}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$ par $\frac{\sqrt{(r + h) (r - h)}}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$ .

$q = \pm \frac{p}{\sqrt{(r + h) (r - h)}} \cdot \frac{\sqrt{(r + h) (r - h)}}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.4.1

Multipliez $\frac{p}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$ par $\frac{\sqrt{(r + h) (r - h)}}{\sqrt{(r + h) (r - h)}}$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{\sqrt{(r + h) (r - h)} \sqrt{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6.4.2

Élevez $\sqrt{(r + h) (r - h)}$ à la puissance $1$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{1} \sqrt{(r + h) (r - h)}}$

Étape 5.6.4.3

Élevez $\sqrt{(r + h) (r - h)}$ à la puissance $1$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{1} {\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{1}}$

Étape 5.6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{1 + 1}}$

Étape 5.6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{2}}$

Étape 5.6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{(r + h) (r - h)}}^{2}$ comme $(r + h) (r - h)$ .

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Étape 5.6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(r + h) (r - h)}$ comme ${((r + h) (r - h))}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{({((r + h) (r - h))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{((r + h) (r - h))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{((r + h) (r - h))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{((r + h) (r - h))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{{((r + h) (r - h))}^{1}}$

Étape 5.6.4.6.5

Simplifiez

$q = \pm \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$q = \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$q = - \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

Étape 5.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$q = \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

$q = - \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

$q = \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

$q = - \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

$q = \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$

$q = - \frac{p \sqrt{(r + h) (r - h)}}{(r + h) (r - h)}$