Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x^{3} - x^{2}) - x + 1}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} (x - 1) - (x - 1)}$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Étape 2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.5

Associez les exposants.

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Étape 2.5.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)}$

Étape 2.5.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)}$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$