Algèbre Exemples

$\frac{x - 1}{x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{x - \frac{x - 2}{x + 1}}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{x - \frac{x - 2}{x + 1}}}$ par $\frac{x - \frac{x - 2}{x + 1}}{x - \frac{x - 2}{x + 1}}$ .

$\frac{x - \frac{x - 2}{x + 1}}{x - \frac{x - 2}{x + 1}} \cdot \frac{x - 1}{x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{x - \frac{x - 2}{x + 1}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{x - \frac{x - 2}{x + 1}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{x - \frac{x - 2}{x + 1}})}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{x - 2}{x + 1}})}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{x (x + 1) - (x - 2)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1}})}$

Étape 3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1}})}$

Étape 3.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

Étape 3.3.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

Étape 3.3.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.1.1.1

Remettez dans l’ordre $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ et $x$ .

$\frac{x (x - \frac{x - 2}{x + 1}) + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ et $- 1$ .

$\frac{x (x - \frac{x - 2}{x + 1}) - 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1})}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $x (x - \frac{x - 2}{x + 1})$ .

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x - 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1})}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $- 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1})$ .

Étape 4.1.4

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot - 1$ .

$\frac{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{x - 2}{x + 1}) (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x (x + 1) - (x - 2)}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4

Réécrivez $\frac{x (x + 1) - (x - 2)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x - (x - 2)}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + x - x - - 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + x - x + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 0 + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 4.4.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})$ .

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Étape 5.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 5.1.1.1

Remettez dans l’ordre $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ et $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{x (x - \frac{x - 2}{x + 1}) + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.1.1.2

Remettez dans l’ordre $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ et $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{x (x - \frac{x - 2}{x + 1}) + 2 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.1.1.3

Remettez dans l’ordre $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ et $- 1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{x (x - \frac{x - 2}{x + 1}) + 2 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) - 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $x (x - \frac{x - 2}{x + 1})$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + 2 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) - 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $2 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1})$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 - 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}}$

Étape 5.1.4

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $- 1 \cdot (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2 + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.1.5

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $(x - \frac{x - 2}{x + 1}) x + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) \cdot 2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x + 2) + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.1.6

Factorisez $x - \frac{x - 2}{x + 1}$ à partir de $(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x + 2) + (x - \frac{x - 2}{x + 1}) (- \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(x - \frac{x - 2}{x + 1}) (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.2

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{(\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{x - 2}{x + 1}) (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x (x + 1) - (x - 2)}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4

Réécrivez $\frac{x (x + 1) - (x - 2)}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x - 2)}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + x - (x - 2)}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + x - x - - 2}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + x - x + 2}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.6

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 0 + 2}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.4.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - \frac{x^{2} + 2}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}})}$

Étape 5.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - ((x^{2} + 2) \frac{x + 1}{x^{2} + 2}))}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2$ .

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - ((x^{2} + 2) \frac{x + 1}{x^{2} + 2}))}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - (x + 1))}$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - x - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x + 2 - x - 1)}$

Étape 5.9

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (0 + 2 - 1)}$

Étape 5.10

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (2 - 1)}$

Étape 5.11

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} \cdot 1}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 2}{x + 1}$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $\frac{x^{2} + 2}{x + 1}$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x^{2} + 2}{x + 1} (x - 1)}{\frac{x^{2} + 2}{x + 1}}$

Étape 6.2.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1$