Algèbre Exemples

$\sqrt{2 x + 4} = \frac{1}{2} x + 1$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $2$ .

$\sqrt{2 x + 4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\sqrt{2 x + 4} \cdot 2$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{\sqrt{2 (x) + 4} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{2 (x + 2)} \cdot 2}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2 (x + 2)}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$x \cdot 2$

Étape 5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$1 \cdot 2$

Étape 7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 (x + 2)}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 8

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{2 x + 4} \cdot \frac{2}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 4}$ comme ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}^{2}$ .

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Étape 9.2.1.1

Divisez $2$ par $2$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 9.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 4)}^{1} = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.2.1.4

Simplifiez

$2 x + 4 = {(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Simplifiez ${(\frac{1}{2} x \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$ .

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Étape 9.3.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 9.3.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3.1.1.1.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3.1.1.1.4

Multipliez $\frac{2}{2}$ par $1$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 9.3.1.1.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$2 x + 4 = {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$

Étape 9.3.1.1.2

Réécrivez ${(\frac{x}{2} + 1)}^{2}$ comme $(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$ .

$2 x + 4 = (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$

Étape 9.3.1.2

Développez $(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + 1) + 1 (\frac{x}{2} + 1)$

Étape 9.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2} + 1)$

Étape 9.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 4 = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1.3.1.1

Multipliez $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 9.3.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 x + 4 = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 4 = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot 1 + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.2

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + 1 \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.3

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 1 \cdot 1$

Étape 9.3.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + 1$

Étape 9.3.1.3.2

Additionnez $\frac{x}{2}$ et $\frac{x}{2}$ .

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{x}{2} + 1$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{x}{2} + 1$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 4 = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{x^{2}}{4} + x + 1 = 2 x + 4$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{4} + x + 1 - 2 x = 4$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$

Étape 10.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 10.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{2}}{4} - x + 1 = 4$ par $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - x \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$x^{2} - 4 x + 1 \cdot 4 = 4 \cdot 4$

Étape 10.3.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 4 \cdot 4$

Étape 10.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.3.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 16$

Étape 10.4

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 4 - 16 = 0$

Étape 10.5

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Étape 10.6

Factorisez $x^{2} - 4 x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 10.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Étape 10.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 10.8

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.8.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 10.8.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 10.9

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.9.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 10.9.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 10.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 6, - 2$