Algèbre Exemples

$P (x) = x^{5} - 9 x^{3}$

Étape 1

Définissez $x^{5} - 9 x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{5} - 9 x^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5} - 9 x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 9 x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 9 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9$ .

$x^{3} (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$x^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = 0$ (Multiplicité de $3$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 0$ (Multiplicité de $3$ )

$x = - 3$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 3$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3