Algèbre Exemples

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Étape 1

Multipliez chaque terme par un facteur de $1$ qui rendra tous les dénominateurs égaux. Dans ce cas, tous les termes ont besoin d’un dénominateur de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot 2$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4

Multipliez l’expression par un facteur de $1$ pour créer le plus petit dénominateur commun de $2$ .

$\sec (θ) \cdot 2$

Étape 5

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec (θ)}{2}$

Étape 6

Remplacez le $\tan^{2} (θ)$ par $\sec^{2} (θ) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7

Divisez $2$ par $2$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 8

Multipliez $\sec^{2} (θ) - 1$ par $1$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9

Remplacez $\sec (θ)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u) \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10

Simplifiez $\frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.4.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot 1$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{3 u}{2}$ par $1$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Étape 11

Soustrayez $\frac{3 u}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Étape 12

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 u}{2}$ dans le numérateur.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Étape 12.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Étape 12.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Étape 12.3

Déplacez $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Étape 13

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 14

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Étape 15.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 15.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Étape 15.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Étape 16

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Étape 16.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.1.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 16.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Étape 16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Étape 16.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Étape 16.4

Additionnez $3$ et $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Étape 16.5

Divisez $8$ par $4$ .

$u = 2$

Étape 17

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 17.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

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Étape 17.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 17.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 17.1.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Étape 17.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 17.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Étape 17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Étape 17.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Étape 17.4

Soustrayez $5$ de $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Étape 17.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 17.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Étape 17.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 17.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Étape 17.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 17.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 18

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Étape 19

Remplacez $u$ par $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Étape 20

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 21

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = 2$ .

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Étape 21.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$θ = arcsec (2)$

Étape 21.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 21.2.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 21.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 21.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 21.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 21.4.2

Associez les fractions.

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Étape 21.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 21.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 21.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 21.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 21.5

Déterminez la période de $\sec (θ)$ .

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Étape 21.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 21.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 21.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 21.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 21.6

La période de la fonction $\sec (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 22

Résolvez $θ$ dans $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 22.1

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{1}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 23

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$