Algèbre Exemples

$\frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(10 - b) (10 + b)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$ par $\frac{(10 - b) (10 + b)}{(10 - b) (10 + b)}$ .

$\frac{(10 - b) (10 + b)}{(10 - b) (10 + b)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{10 - b}}{1 - \frac{1}{10 + b}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(10 - b) (10 + b) (1 + \frac{1}{10 - b})}{(10 - b) (10 + b) (1 - \frac{1}{10 + b})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{1}{10 - b}}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $10 - b$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{1}{10 - b}}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) (- \frac{1}{10 + b})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $10 + b$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{10 + b}$ dans le numérateur.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) (10 + b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $10 + b$ à partir de $(10 - b) (10 + b)$ .

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 + b) (10 - b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 + b) (10 - b) \frac{- 1}{10 + b}}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(10 - b) (10 + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(10 (10 + b) - b (10 + b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(10 \cdot 10 + 10 b - b (10 + b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(10 \cdot 10 + 10 b - b \cdot 10 - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{(100 + 10 b - b \cdot 10 - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - b \cdot b) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.3.1

Déplacez $b$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - (b \cdot b)) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{(100 + 10 b - 10 b - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $10 b$ de $10 b$ .

$\frac{(100 + 0 - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $100$ et $0$ .

$\frac{(100 - b^{2}) \cdot 1 + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.3

Multipliez $100 - b^{2}$ par $1$ .

$\frac{100 - b^{2} + 10 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.4

Additionnez $100$ et $10$ .

$\frac{- b^{2} + 110 + b}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- b^{2} + b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 110 = - 110$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 4.6.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{- b^{2} + 1 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 10$ plus $11$

$\frac{- b^{2} + (- 10 + 11) b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- b^{2} - 10 b + 11 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- b^{2} - 10 b) + 11 b + 110}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{b (- b - 10) - 11 (- b - 10)}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- b - 10$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $10 - b$ à partir de $(10 - b) (10 + b) \cdot 1 + (10 - b) \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $10 - b$ à partir de $(10 - b) (10 + b) \cdot 1$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) \cdot - 1}$

Étape 5.1.2

Factorisez $10 - b$ à partir de $(10 - b) \cdot - 1$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) (- 1)}$

Étape 5.1.3

Factorisez $10 - b$ à partir de $(10 - b) ((10 + b) \cdot 1) + (10 - b) (- 1)$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) ((10 + b) \cdot 1 - 1)}$

Étape 5.2

Multipliez $10 + b$ par $1$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (10 + b - 1)}$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $10$ .

$\frac{(- b - 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- b$ .

$\frac{(- (b) - 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$\frac{(- (b) - 1 (10)) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (b) - 1 (10)$ .

$\frac{- (b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (b + 10)$ comme $- 1 (b + 10)$ .

$\frac{- 1 (b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(b + 10) (b - 11)}{(10 - b) (b + 9)}$