Algèbre Exemples

$\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x} = \frac{7 x}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x} = \frac{7 x}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x} = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 2, x, (x + 2) (x - 2)$

Étape 2.2

Comme $x - 2, x, (x + 2) (x - 2)$ contiennent des nombres et des variables, quatre étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour les parties numériques, variables et variables composées. Ensuite, multipliez toutes les valeurs entre elles.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x - 2, x, (x + 2) (x - 2)$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x - 2, x + 2, x - 2$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $x - 2$ est $x - 2$ lui-même.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x - 2, x + 2, x - 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x - 2) (x + 2)$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x (x - 2) (x + 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x} = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)}$ par $x (x - 2) (x + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{x - 2} + \frac{3}{x} = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)}$ par $x (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{x - 2} (x (x - 2) (x + 2)) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $x (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{x - 2} ((x - 2) (x (x + 2))) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{x - 2} ((x - 2) (x (x + 2))) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 (x (x + 2)) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{2} + 8 x + \frac{3}{x} (x (x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 2) (x + 2)$ .

$4 x^{2} + 8 x + \frac{3}{x} (x ((x - 2) (x + 2))) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} + 8 x + \frac{3}{x} (x ((x - 2) (x + 2))) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} + 8 x + 3 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.8

Développez $(x - 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.9

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot 2$ et $- 2 x$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.9.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.9.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x \cdot x - 2 \cdot 2) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.10.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x^{2} - 2 \cdot 2) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 (x^{2} - 4) = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 4 = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.1.12

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$4 x^{2} + 8 x + 3 x^{2} - 12 = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.2.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = \frac{7 x}{(x + 2) (x - 2)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $(x - 2) (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $(x - 2) (x + 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2)$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = \frac{7 x}{(x - 2) (x + 2) (1)} (x (x - 2) (x + 2))$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $(x - 2) (x + 2)$ à partir de $x (x - 2) (x + 2)$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = \frac{7 x}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2) (x))$

Étape 3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$7 x^{2} + 8 x - 12 = \frac{7 x}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2) x)$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$7 x^{2} + 8 x - 12 = 7 x \cdot x$

Étape 3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = 7 (x^{1} x)$

Étape 3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = 7 (x^{1} x^{1})$

Étape 3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x^{2} + 8 x - 12 = 7 x^{1 + 1}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 x^{2} + 8 x - 12 = 7 x^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $7 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 8 x - 12 - 7 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Associez les termes opposés dans $7 x^{2} + 8 x - 12 - 7 x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$8 x - 12 + 0 = 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $8 x - 12$ et $0$ .

$8 x - 12 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x = 12$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $8 x = 12$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 12$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{12}{8}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{12}{8}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{8}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $8$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{4 (3)}{8}$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 1 \frac{1}{2}$