Algèbre Exemples

$\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $2 x$ .

$(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x)$ .

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{5 x} (2 x) + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 (x)) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{5} x = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.1.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez $2 \frac{4}{5 x}$ .

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Étape 2.1.1.2.1.1

Associez $2$ et $\frac{4}{5 x}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x$ .

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{5} + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.1.1.3

Remettez dans l’ordre $\frac{8}{5}$ et $\frac{x}{5}$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2 x} (2 x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 (x)} x$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Étape 2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 3$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $\frac{8}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{5} = 3 - \frac{8}{5}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{8}{5}$

Étape 3.1.3

Associez $3$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{8}{5}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5 - 8}{5}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{x}{5} = \frac{15 - 8}{5}$

Étape 3.1.5.2

Soustrayez $8$ de $15$ .

$\frac{x}{5} = \frac{7}{5}$

Étape 3.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = 7$

Étape 4

Déterminez le domaine de $- \frac{7}{10 x} + \frac{1}{10}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{10 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$10 x = 0$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $10 x = 0$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 0$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $0$ par $10$ .

$x = 0$

Étape 4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{5 (- 2)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (- 2)}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 0.3$ n’est pas inférieur au côté droit $- 0.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{5 (4)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (4)}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $0.3$ est inférieur au côté droit $0.375$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{5 (10)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (10)}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $0.18$ n’est pas inférieur au côté droit $0.15$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 7$ Vrai

$x > 7$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 7$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 7$

Notation d’intervalle :

$(0, 7)$

Étape 9