Algèbre Exemples

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 1

Réécrivez $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ comme une différence de carrés.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sqrt{\cos (θ)}$ et $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Étape 4

Définissez $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ égal à $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $\cos (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Étape 4.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\cos (θ)}$ comme ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1

Simplifiez ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3.2.1.2

Simplifiez

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.1

Simplifiez ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Étape 4.2.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Étape 4.2.3.3.1.3

Multipliez $\cos^{2} (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Étape 4.2.4

Résolvez $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Soustrayez $\cos^{2} (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Étape 4.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.1

Laissez $u = \cos (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\cos (θ)$ par $u$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u - u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Étape 4.2.4.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Étape 4.2.4.2.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Étape 4.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Étape 4.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Étape 4.2.4.4

Définissez $\cos (θ)$ égal à $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Étape 4.2.4.5

Définissez $1 - \cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.1

Définissez $1 - \cos (θ)$ égal à $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Étape 4.2.4.5.2

Résolvez $1 - \cos (θ) = 0$ pour $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (θ) = - 1$

Étape 4.2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (θ) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.4.5.2.2.2.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Étape 4.2.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ vraie.

$\cos (θ) = 0, 1$

Étape 4.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Étape 4.2.6

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (0)$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 4.2.6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 4.2.6.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.7

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (1)$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

Étape 4.2.7.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Étape 4.2.7.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.8

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.9

Consolidez les solutions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.9.1

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.9.2

Consolidez $2 π n$ et $2 π + 2 π n$ en $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$