Algèbre Exemples

$x (3 x + 2) > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez $x (3 x + 2)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x (3 x + 2) > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (3 x) + x \cdot 2 > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x \cdot x + x \cdot 2 > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x \cdot x + 2 \cdot x > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 2 \cdot x > {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot x > {(x + 2)}^{2}$

$3 x^{2} + 2 x > {(x + 2)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$3 x^{2} + 2 x > (x + 2) (x + 2)$

Étape 2.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x > x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x > x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x > x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 2 x > x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 x^{2} + 2 x > x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} + 2 x > x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x > x^{2} + 4 x + 4$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 2 x - x^{2} > 4 x + 4$

Étape 3.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 2 x - x^{2} - 4 x > 4$

Étape 3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x - 4 x > 4$

Étape 3.4

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$2 x^{2} - 2 x > 4$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 2 x = 4$

Étape 5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 2 x - 4 = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4 = 0$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2) = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$2 (x^{2} - x) + 2 (- 2) = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$2 (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 6.2

Factorisez.

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Étape 6.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 8

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 9

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 4) (3 (- 4) + 2) > {((- 4) + 2)}^{2}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(0) (3 (0) + 2) > {((0) + 2)}^{2}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) (3 (4) + 2) > {((4) + 2)}^{2}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $56$ est supérieur au côté droit $36$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $x > 2$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 1 or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (2, \infty)$

Étape 15