Algèbre Exemples

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{x - y}{x + y}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x + y}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{x - y}{x + y}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - y}{x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - y) (x + y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + y}{x - y}$ par $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{x - y}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{x - y}{x + y}$ par $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + y) (x + y) + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + y) + y (x + y) + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x y + y (x + y) + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y \cdot y + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y^{2} + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.2.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + x y + y^{2} + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + (x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x (x - y) - y (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x (- y) - y (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x - y (- y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 5.4.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x^{2} - 2 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.5

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x y + y^{2} - 2 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.6

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{2 x^{2} + y^{2} + 0 + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.7

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} + y^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.8

Additionnez $y^{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.9

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Étape 5.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.9.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Étape 5.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$