Algèbre Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ comme une équation.

$y = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\sqrt{y + 3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Étape 3.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 3.3.1.3

Multipliez.

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Étape 3.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt{y + 3}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 3}$ comme ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Étape 3.6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = 4 x^{2} - 3$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\sqrt{x + 3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2} - 3$

Étape 5.2.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2}) - 3$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Étape 5.2.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (1 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5

Réécrivez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ comme $x + 3$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Étape 5.2.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Étape 5.2.3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Étape 5.2.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4 x^{2} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 x^{2} - 3) + 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $4 x^{2}$ et $0$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$f (4 x^{2} - 3) = - 1 \cdot x$

Étape 5.3.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$