Algèbre Exemples

$f (u) = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, - 12 u + 11$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$1, - 12 u + 11$

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$- 12 u + 11$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $f u = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11}$ par $- 12 u + 11$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $f u = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11}$ par $- 12 u + 11$ .

$f u (- 12 u + 11) = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f u (- 12 u) + f u \cdot 11 = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 12 f u \cdot u + f u \cdot 11 = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.2.1.2.2

Déplacez $11$ à gauche de $f u$ .

$- 12 f u \cdot u + 11 \cdot (f u) = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.2.2

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez $u$ .

$- 12 f (u \cdot u) + 11 \cdot (f u) = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$- 12 f u^{2} + 11 \cdot (f u) = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

$- 12 f u^{2} + 11 f u = \frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11} (- 12 u + 11)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{- 9 u + 8}{- 12 u + 11}$ par $- 12 u + 11$ .

$- 12 f u^{2} + 11 f u = \frac{(- 9 u + 8) (- 12 u + 11)}{- 12 u + 11}$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $- 12 u + 11$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 12 f u^{2} + 11 f u = \frac{(- 9 u + 8) (- 12 u + 11)}{- 12 u + 11}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $- 9 u + 8$ par $1$ .

$- 12 f u^{2} + 11 f u = - 9 u + 8$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $9 u$ aux deux côtés de l’équation.

$- 12 f u^{2} + 11 f u + 9 u = 8$

Étape 3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 12 f u^{2} + 11 f u + 9 u - 8 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = - 12 f$ , $b = 11 f + 9$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- (11 f + 9) \pm \sqrt{{(11 f + 9)}^{2} - 4 \cdot (- 12 f \cdot - 8)}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- (11 f) - 1 \cdot 9 \pm \sqrt{{(11 f + 9)}^{2} - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 11 f - 1 \cdot 9 \pm \sqrt{{(11 f + 9)}^{2} - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{{(11 f + 9)}^{2} - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez ${(11 f + 9)}^{2}$ comme $(11 f + 9) (11 f + 9)$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{(11 f + 9) (11 f + 9) - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.5

Développez $(11 f + 9) (11 f + 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 f (11 f + 9) + 9 (11 f + 9) - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 f (11 f) + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f + 9) - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 f (11 f) + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 \cdot (11 f \cdot f) + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.2

Multipliez $f$ par $f$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.1.6.1.2.1

Déplacez $f$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 \cdot (11 (f \cdot f)) + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.2.2

Multipliez $f$ par $f$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{11 \cdot (11 f^{2}) + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.3

Multipliez $11$ par $11$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 11 f \cdot 9 + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.4

Multipliez $9$ par $11$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 99 f + 9 (11 f) + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.5

Multipliez $11$ par $9$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 99 f + 99 f + 9 \cdot 9 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.1.6

Multipliez $9$ par $9$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 99 f + 99 f + 81 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.6.2

Additionnez $99 f$ et $99 f$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 198 f + 81 - 4 \cdot (- 12 f) \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 198 f + 81 + 48 f \cdot - 8}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.8

Multipliez $- 8$ par $48$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} + 198 f + 81 - 384 f}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.1.9

Soustrayez $384 f$ de $198 f$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{2 (- 12 f)}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$u = \frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{- 24 f}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 11 f - 9 \pm \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{- 24 f}$ .

$u = \frac{11 f + 9 \pm \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{24 f}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{11 f + 9 + \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{24 f}$

$u = \frac{11 f + 9 - \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{24 f}$

$u = \frac{11 f + 9 + \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{24 f}$

$u = \frac{11 f + 9 - \sqrt{121 f^{2} - 186 f + 81}}{24 f}$