Algèbre Exemples

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Étape 2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4} + 2 x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{4}$ .

$x^{6} - (x^{4}) + 2 x^{2} - 1$

Étape 2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x^{2}$ .

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1$

Étape 2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1 (1)$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4}) - (- 2 x^{2})$ .

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Étape 3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{6} - ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1)$

Étape 4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1)$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{6} - (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x^{6} - {(u - 1)}^{2}$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{6} - {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{6} - {(x^{2} - 1^{2})}^{2}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{6} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$x^{6} - ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{6} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Étape 10

Réécrivez $x^{6}$ comme ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Étape 11

Réécrivez ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Étape 12

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{3}$ et $b = (x + 1) (x - 1)$ .

$(x^{3} + (x + 1) (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x (x - 1) + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + 0 - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.2.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Étape 13.3

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x (x - 1) + 1 (x - 1)))$

Étape 13.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)))$

Étape 13.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Étape 13.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Étape 13.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Étape 13.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Étape 13.4.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1))$

Étape 13.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x - 1))$

Étape 13.4.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + 0 - 1))$

Étape 13.4.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1))$

Étape 13.5

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} - - 1)$

Étape 13.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} + 1)$