Algèbre Exemples

$y = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y + 1}{3 - 2 y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ .

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 - 2 y, 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$3 - 2 y, 1$

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 - 2 y$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ par $3 - 2 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} = x$ par $3 - 2 y$ .

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} (3 - 2 y) = x (3 - 2 y)$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 - 2 y$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y + 1}{3 - 2 y} (3 - 2 y) = x (3 - 2 y)$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y + 1 = x (3 - 2 y)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 1 = x \cdot 3 + x (- 2 y)$

Étape 2.3.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.3.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$2 y + 1 = 3 \cdot x + x (- 2 y)$

Étape 2.3.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y + 1 = 3 x - 2 x y$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y + 1 + 2 x y = 3 x$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y + 2 x y = 3 x - 1$

Étape 2.4.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y + 2 x y$ .

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Étape 2.4.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$2 y (1) + 2 x y = 3 x - 1$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 x y$ .

$2 y (1) + 2 y (x) = 3 x - 1$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1) + 2 y (x)$ .

$2 y (1 + x) = 3 x - 1$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $2 y (1 + x) = 3 x - 1$ par $2 (1 + x)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y (1 + x) = 3 x - 1$ par $2 (1 + x)$ .

$\frac{2 y (1 + x)}{2 (1 + x)} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y (1 + x)}{2 (1 + x)} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Étape 2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 2.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + x)}{1 + x} = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Étape 2.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 x}{2 (1 + x)} + \frac{- 1}{2 (1 + x)}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})} - \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})} - \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{3 (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) - 1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.5

Associez $3$ et $\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} - 1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} - 1 \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.7.1

Associez $- 1$ et $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1)}{3 - 2 x} + \frac{- (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x + 1) - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 \cdot 1 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 1 \cdot 3 - (- 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 3 - (- 2 x)}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.6

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{6 x + 3 - 3 + 2 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.7

Additionnez $6 x$ et $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x + 3 - 3}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.8

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x + 0}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.8.9

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{\frac{8 x}{3 - 2 x}}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{8 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.10.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{2 (4 x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.10.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{2 (4 x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.10.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}}$

Étape 4.2.10.2

Multipliez $\frac{4 x}{3 - 2 x}$ par $\frac{1}{1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (1 + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.11.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} + \frac{2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 - 2 x + 2 x + 1}{3 - 2 x})}$

Étape 4.2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{2 x - 2 x + 3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Étape 4.2.11.4

Réécrivez $\frac{2 x - 2 x + 3 + 1}{- 2 x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.11.4.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{0 + 3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Étape 4.2.11.4.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{3 + 1}{- 2 x + 3})}$

Étape 4.2.11.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{4 x}{(3 - 2 x) (\frac{4}{- 2 x + 3})}$

Étape 4.2.12

Factorisez $\frac{4}{- 2 x + 3}$ à partir de $\frac{4 x}{(3 - 2 x) \frac{4}{- 2 x + 3}}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 x}{3 - 2 x}$

Étape 4.2.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 (x)}{3 - 2 x}$

Étape 4.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{- 2 x + 3}{4} \cdot \frac{4 x}{3 - 2 x}$

Étape 4.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = (- 2 x + 3) (\frac{x}{3 - 2 x})$

Étape 4.2.14

Multipliez $- 2 x + 3$ par $\frac{x}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{3 - 2 x}$

Étape 4.2.15

Annulez le facteur commun à $- 2 x + 3$ et $3 - 2 x$ .

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Étape 4.2.15.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{- 2 x + 3}$

Étape 4.2.15.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 3) x}{- 2 x + 3}$

Étape 4.2.15.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 - 2 x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 (1 + x)}$ dans le numérateur.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (\frac{- 1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + 2 (\frac{- 1}{2 (1 + x)}) + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x} + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1}{1 + x} + 1}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1}{1 + x} + \frac{1 + x}{1 + x}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x - 1 + 1 + x}{1 + x}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{3 x + x - 1 + 1}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.8

Réécrivez $\frac{3 x + x - 1 + 1}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.8.1

Additionnez $3 x$ et $x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x - 1 + 1}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.8.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x + 0}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.3.8.3

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 2 (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 2 \frac{3 x}{2 (1 + x)} - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + 2 (- 1) (\frac{3 x}{2 (1 + x)}) - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 (1 + x)}) - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 2 (- \frac{1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 (1 + x)}$ dans le numérateur.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 2 \frac{- 1}{2 (1 + x)}}$

Étape 4.3.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 1}{2 (1 + x)})}$

Étape 4.3.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - 1 \frac{3 x}{1 + x} - 1 \frac{- 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.4.1

Réécrivez $- 1 \frac{3 x}{1 + x}$ comme $- \frac{3 x}{1 + x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} - 1 \frac{- 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} - 1 (- \frac{1}{1 + x})}$

Étape 4.3.4.4.3

Multipliez $- 1 (- \frac{1}{1 + x})$ .

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Étape 4.3.4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} + 1 (\frac{1}{1 + x})}$

Étape 4.3.4.4.3.2

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 - \frac{3 x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{3 + \frac{- 3 x + 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.6

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 (1 + x)}{1 + x} + \frac{- 3 x + 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 (1 + x) - 3 x + 1}{1 + x}}$

Étape 4.3.4.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 (1 + x) + 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.9

Réécrivez $\frac{- 3 x + 3 (1 + x) + 1}{x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 \cdot 1 + 3 x + 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.9.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{- 3 x + 3 + 3 x + 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.9.3

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{0 + 3 + 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.9.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{3 + 1}{x + 1}}$

Étape 4.3.4.9.5

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{\frac{4 x}{x + 1}}{\frac{4}{x + 1}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Étape 4.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{4 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{4}$

Étape 4.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2 (1 + x)} - \frac{1}{2 (1 + x)}$