Algèbre Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x^{2} + 4 x - 21}}{\frac{- 2 x + 8}{x + 7}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - 8 x + 16}{x^{2} + 4 x - 21} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{x^{2} + 4 x - 21} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x^{2} + 4 x - 21} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{x^{2} + 4 x - 21} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 4 x - 21$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 21$ et dont la somme est $4$ .

$- 3, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) (x + 7)} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x + 7$ à partir de $(x - 3) (x + 7)$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 7) (x - 3)} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 7) (x - 3)} \cdot \frac{x + 7}{- 2 x + 8}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 3} \cdot \frac{1}{- 2 x + 8}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{{(x - 4)}^{2}}{x - 3}$ par $\frac{1}{- 2 x + 8}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) (- 2 x + 8)}$

Étape 5

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 8$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) (2 (- x) + 8)}$

Étape 5.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) (2 (- x) + 2 (4))}$

Étape 5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) (2 (- x + 4))}$

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à ${(x - 4)}^{2}$ et $- x + 4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{{(- 1 (- x) - 4)}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{{(- 1 (- x) - 1 (4))}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (4)$ .

$\frac{{(- 1 (- x + 4))}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- x + 4)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- x + 4)}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 {(- x + 4)}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.6

Multipliez ${(- x + 4)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(- x + 4)}^{2}}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.7

Factorisez $- x + 4$ à partir de ${(- x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(- x + 4) (- x + 4)}{(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)}$

Étape 6.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.8.1

Factorisez $- x + 4$ à partir de $(x - 3) \cdot 2 (- x + 4)$ .

$\frac{(- x + 4) (- x + 4)}{(- x + 4) ((x - 3) \cdot 2)}$

Étape 6.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- x + 4) (- x + 4)}{(- x + 4) ((x - 3) \cdot 2)}$

Étape 6.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x + 4}{(x - 3) \cdot 2}$

Étape 7

Déplacez $2$ à gauche de $x - 3$ .

$\frac{- x + 4}{2 \cdot (x - 3)}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 4}{2 (x - 3)}$

Étape 9

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 4)}{2 (x - 3)}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4)}{2 (x - 3)}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4)}{2 (x - 3)}$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 4}{2 (x - 3)}$