Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 3} \div \frac{2 x + 8}{x^{2} - 9}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 4^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{2 x + 8}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{2 x + 8}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 8$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x) + 8}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 x + 2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x + 4)}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2 (x + 4)}$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $2 (x + 4)$ .

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 4) \cdot 2}$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x + 4)}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 4) \cdot 2}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{2}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 4) \frac{x - 3}{2}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{x - 3}{2} + 4 \frac{x - 3}{2}$

Étape 4.2.4

Associez $x$ et $\frac{x - 3}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 4 \frac{x - 3}{2}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 (2) \frac{x - 3}{2}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 \cdot 2 \frac{x - 3}{2}$

Étape 4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 (x - 3)$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 x + 2 \cdot - 3$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + 2 x - 6$

Étape 5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.1

Écrivez $2 x$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x}{1} - 6$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{2 x}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{2 x}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} - 6$

Étape 5.4

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (x - 3)}{2} + \frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x - 3) + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x + 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 6 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x + 4 x - 12}{2}$

Étape 6.3

Additionnez $- 3 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 12}{2}$

Étape 7

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 4)}{2}$