Algèbre Exemples

$\frac{1}{b + 1} + \frac{b^{2} + 2}{b^{2} - b - 2} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 1

Factorisez $b^{2} - b - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{b + 1} + \frac{b^{2} + 2}{(b - 2) (b + 1)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{1}{b + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - 2}{b - 2}$ .

$\frac{1}{b + 1} \cdot \frac{b - 2}{b - 2} + \frac{b^{2} + 2}{(b - 2) (b + 1)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(b + 1) (b - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{b + 1}$ par $\frac{b - 2}{b - 2}$ .

$\frac{b - 2}{(b + 1) (b - 2)} + \frac{b^{2} + 2}{(b - 2) (b + 1)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(b - 2) (b + 1)$ .

$\frac{b - 2}{(b + 1) (b - 2)} + \frac{b^{2} + 2}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b - 2 + b^{2} + 2}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $\frac{b - 2 + b^{2} + 2}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{b + b^{2} + 0}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $b^{2}$ et $0$ .

$\frac{b + b^{2}}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Factorisez $b$ à partir de $b + b^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1} + b^{2}}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.1.2

Factorisez $b$ à partir de $b^{1}$ .

$\frac{b \cdot 1 + b^{2}}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $b$ à partir de $b^{2}$ .

$\frac{b \cdot 1 + b \cdot b}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.1.4

Factorisez $b$ à partir de $b \cdot 1 + b \cdot b$ .

$\frac{b (1 + b)}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $1 + b$ et $b + 1$ .

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Étape 5.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{b (b + 1)}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{b (b + 1)}{(b + 1) (b - 2)} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{b}{b - 2} - \frac{b}{b - 2}$

Étape 6

Soustrayez $\frac{b}{b - 2}$ de $\frac{b}{b - 2}$ .

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