Algèbre Exemples

$8 {(x + y)}^{3} - y^{3}$

Étape 1

Réécrivez $8 {(x + y)}^{3}$ comme ${(2 (x + y))}^{3}$ .

${(2 (x + y))}^{3} - y^{3}$

Étape 2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 (x + y)$ et $b = y$ .

$(2 (x + y) - y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 y - y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.2

Soustrayez $y$ de $2 y$ .

$(2 x + y) ({(2 (x + y))}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) ({(2 x + 2 y)}^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.4

Réécrivez ${(2 x + 2 y)}^{2}$ comme $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ .

$(2 x + y) ((2 x + 2 y) (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.5

Développez $(2 x + 2 y) (2 x + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) (2 x (2 x + 2 y) + 2 y (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x + 2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) (2 x (2 x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x + y) (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(2 x + y) (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 x + y) (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 2 x (2 y) + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 2 \cdot 2 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 2 y (2 x) + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 2 \cdot 2 y x + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 y (2 y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.9.1

Déplacez $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 2 \cdot 2 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 y x + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.2

Additionnez $4 x y$ et $4 y x$ .

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Étape 3.6.2.1

Déplacez $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 x y + 4 x y + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $4 x y$ et $4 x y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 (x + y) y + y^{2})$

Étape 3.7

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + (2 x + 2 y) y + y^{2})$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 y \cdot y + y^{2})$

Étape 3.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.1

Déplacez $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 (y \cdot y) + y^{2})$

Étape 3.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 8 x y + 4 y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} + y^{2})$

Étape 3.10

Additionnez $8 x y$ et $2 x y$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 4 y^{2} + 10 x y + 2 y^{2} + y^{2})$

Étape 3.11

Additionnez $4 y^{2}$ et $2 y^{2}$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 6 y^{2} + 10 x y + y^{2})$

Étape 3.12

Additionnez $6 y^{2}$ et $y^{2}$ .

$(2 x + y) (4 x^{2} + 7 y^{2} + 10 x y)$