Algèbre Exemples

$2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0$

Étape 1

Réécrivez $2^{x + 1}$ comme $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Étape 2

Réécrivez $2^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 4

Remplacez $2^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - u \cdot 2 - 8 = 0$

Étape 5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

Étape 6

Résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $u^{2} - 2 u - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 2) = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 6.3

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 6.4

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 6.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = 4, - 2$

Étape 7

Remplacez $u$ par $4$ dans $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Étape 8

Résolvez $4 = 2^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Étape 8.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{2}$

Étape 8.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $- 2$ dans $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Étape 10

Résolvez $- 2 = 2^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Étape 10.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Étape 10.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (- 2)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 10.4

Il n’y a pas de solution pour $2^{x} = - 2$

Aucune solution

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 2$