Algèbre Exemples

$x - 6 > \frac{2}{x}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$(x - 6) x = \frac{2}{x} x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $(x - 6) x$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x - 6 x = \frac{2}{x} x$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{2}{x} x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 6 x = \frac{2}{x} x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 6 x = 2$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $36$ et $8$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{11}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$

Étape 4

Déterminez le domaine de $x - 6 - \frac{2}{x}$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 3 - \sqrt{11}$

$3 - \sqrt{11} < x < 0$

$0 < x < 3 + \sqrt{11}$

$x > 3 + \sqrt{11}$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 3 - \sqrt{11}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 3 - \sqrt{11}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 3) - 6 > \frac{2}{- 3}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 9$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $3 - \sqrt{11} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $3 - \sqrt{11} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.16$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.16$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 0.16) - 6 > \frac{2}{- 0.16}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $- 6.16$ est supérieur au côté droit $- 12.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3 + \sqrt{11}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3 + \sqrt{11}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(3) - 6 > \frac{2}{3}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas supérieur au côté droit $0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3 + \sqrt{11}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3 + \sqrt{11}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 9$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $9$ dans l’inégalité d’origine.

$(9) - 6 > \frac{2}{9}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0.\overline{2}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 3 - \sqrt{11}$ Faux

$3 - \sqrt{11} < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3 + \sqrt{11}$ Faux

$x > 3 + \sqrt{11}$ Vrai

$x < 3 - \sqrt{11}$ Faux

$3 - \sqrt{11} < x < 0$ Vrai

$0 < x < 3 + \sqrt{11}$ Faux

$x > 3 + \sqrt{11}$ Vrai

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$3 - \sqrt{11} < x < 0$ ou $x > 3 + \sqrt{11}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$3 - \sqrt{11} < x < 0 or x > 3 + \sqrt{11}$

Notation d’intervalle :

$(3 - \sqrt{11}, 0) \cup (3 + \sqrt{11}, \infty)$

Étape 9