Algèbre Exemples

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{16}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{{(x + 2)}^{2}}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{{(x - 2)}^{2}}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3}{15} + \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) (x + 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (x + 2) + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x + 4) \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 3 + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.5

Simplifiez

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Étape 2.5.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} + 4 x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 4 \cdot 3 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} + 12 x + 12 + {(x - 2)}^{2} \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.6

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x - 2) (x - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.7

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x (x - 2) - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.8.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.8.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.8.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + (x^{2} - 4 x + 4) \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + x^{2} \cdot 5 - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.10

Simplifiez

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Étape 2.5.10.1

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.10.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 4 \cdot 5}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.10.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 12 + 5 \cdot x^{2} - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.11

Additionnez $3 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 12 - 20 x + 20}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.12

Soustrayez $20 x$ de $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 12 + 20}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.13

Additionnez $12$ et $20$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.14

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2} - 8 x + 32$ .

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Étape 2.5.14.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{8 (x^{2}) - 8 x + 32}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.14.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 32}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.14.3

Factorisez $8$ à partir de $32$ .

$\frac{8 (x^{2}) + 8 (- x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.14.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2}) + 8 (- x)$ .

$\frac{8 (x^{2} - x) + 8 (4)}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.5.14.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2} - x) + 8 (4)$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3} = 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- \frac{16}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} = 0$

Étape 2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4)}{15} - \frac{16 \cdot 5}{15} = 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5}{15} = 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2} - x + 4) - 16 \cdot 5$ .

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Étape 2.9.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16 \cdot 5$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4) + 8 (- 2 \cdot 5)}{15} = 0$

Étape 2.9.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8 (x^{2} - x + 4) + 8 (- 2 \cdot 5)$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4 - 2 \cdot 5)}{15} = 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{8 (x^{2} - x + 4 - 10)}{15} = 0$

Étape 2.9.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$\frac{8 (x^{2} - x - 6)}{15} = 0$

Étape 2.9.4

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.9.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.9.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{8 ((x - 3) (x + 2))}{15} = 0$

$\frac{8 (x - 3) (x + 2)}{15} = 0$

Étape 3

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c = 0$

Étape 4

La forme normalisée est $\frac{8 (x - 3) (x + 2)}{15}$ .

$\frac{8 (x - 3) (x + 2)}{15} = 0$

Étape 5