Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{1 - x} = \frac{x + 1}{x + 2}$

Étape 1

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction. Définissez une valeur égale au produit du dénominateur de la première fraction et du numérateur de la deuxième fraction.

$(x + 3) (x + 2) = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $(x + 3) (x + 2)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 3) (x + 2) = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x + 3) (x + 2) = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.3

Développez $(x + 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 2) + 3 (x + 2) = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 3 (x + 2) = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 3 x + 3 \cdot 2 = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 3 x + 3 \cdot 2 = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 2 = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.4.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = (1 - x) (x + 1)$

Étape 2.2

Simplifiez $(1 - x) (x + 1)$ .

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Étape 2.2.1

Développez $(1 - x) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 5 x + 6 = 1 (x + 1) - x (x + 1)$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 5 x + 6 = 1 x + 1 \cdot 1 - x (x + 1)$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 5 x + 6 = 1 x + 1 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = x + 1 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = x + 1 - x \cdot x - x \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = x + 1 - x^{2} - x \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = x + 1 - x^{2} - x$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = 1 - x^{2} + 0$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{2} + 5 x + 6 = - x^{2} + 1$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x + 6 + x^{2} = 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 5 x + 6 = 1$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 5 x + 6 - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$2 x^{2} + 5 x + 5 = 0$

Étape 2.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 5$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.3

Soustrayez $40$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{5 + i \sqrt{15}}{4}$