Algèbre Exemples

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{9 - x^{2}}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$x + 3 > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x + 3 > {\sqrt{3^{2} - x^{2}}}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$x + 3 > {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ comme $(3 + x) (3 - x)$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ comme ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{1}$

Étape 2.3.1.3.5

Simplifiez

$x + 3 > (3 + x) (3 - x)$

Étape 2.3.1.4

Développez $(3 + x) (3 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 > 3 (3 - x) + x (3 - x)$

Étape 2.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)$

Étape 2.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.5.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x + 3 > 9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Étape 2.3.1.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)$

Étape 2.3.1.5.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)$

Étape 2.3.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x \cdot x$

Étape 2.3.1.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)$

Étape 2.3.1.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x^{2}$

Étape 2.3.1.5.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$x + 3 > 9 + 0 - x^{2}$

Étape 2.3.1.5.3

Additionnez $9$ et $0$ .

$x + 3 > 9 - x^{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x + 3 + x^{2} > 9$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x + 3 + x^{2} = 9$

Étape 3.3

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x + 3 + x^{2} - 9 = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $9$ de $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Étape 3.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.5.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$u + u^{2} - 6 = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez $u + u^{2} - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 3.5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 3.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 3.7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3.8

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 2, - 3$

Étape 4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 3} - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

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Étape 4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 3 \geq 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 3$

Étape 4.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Étape 4.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Étape 4.4.2

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 4.4.3

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.3.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 4.4.3.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 4.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.4.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 4.4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 4.4.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 4.4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 4.4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 4.4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Étape 4.4.6.1.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.4.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Étape 4.4.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.4.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Étape 4.4.6.3.3

Le côté gauche $- 27$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.4.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 4.4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 \leq x \leq 3$

Étape 4.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 3, 3]$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{9 - {(- 6)}^{2}}$

Étape 6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $1.7320508$ n’est pas supérieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(2.5) + 3} > \sqrt{9 - {(2.5)}^{2}}$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $2.34520787$ est supérieur au côté droit $1.65831239$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 6.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{9 - {(6)}^{2}}$

Étape 6.4.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 3$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(2, 3)$

Étape 9